基于 Hermite 插值的 CDF 反演 (HINV)#
必需：CDF
可选：PDF、dPDF
速度
设置：(非常)慢
采样：(非常)快
HINV 是数值反演的一种变体，其中使用 Hermite 插值来近似反 CDF，即，将区间 [0,1] 分成几个区间，并在每个区间中使用 CDF 和 PDF 在区间边界上的值构造的多项式来近似反 CDF。这使得可以通过分割特定区间来提高精度，而不会对不受影响的区间进行重新计算。实现了三种类型的样条曲线：线性、三次和五次插值。对于线性插值，只需要 CDF。三次插值还需要 PDF，而五次插值则需要 PDF 及其导数。
这些样条曲线必须在设置步骤中计算。但是，它仅适用于具有有界域的分布；对于具有无界域的分布，尾部会被截断，使得尾部区域的概率与给定的 u 分辨率相比很小。
该方法并不精确，因为它只产生近似分布的随机变量。然而，在“u 方向”上的最大数值误差（即 |U - CDF(X)|，其中 X 是与分位数 U 相对应的近似百分位数，即 X = approx_ppf(U)）可以设置为所需的分辨率（在机器精度范围内）。请注意，u 分辨率的非常小的值是可能的，但可能会增加设置步骤的成本。
NumericalInverseHermite 使用 Hermite 样条曲线来近似连续统计分布的 CDF 的反函数。Hermite 样条曲线的阶数可以通过传递 order 参数来指定。
如 [1] 中所述，它首先在分布的支持范围内评估分布的 PDF 和 CDF 在分位数 x 的网格上。它使用结果来拟合一个 Hermite 样条曲线 H，使得 H(p) == x，其中 p 是与分位数 x 相对应的百分位数数组。因此，样条曲线在百分位数 p 处以机器精度近似分布的 CDF 的反函数，但通常情况下，样条曲线在百分位数点之间的中点处不会那么精确。
p_mid = (p[:-1] + p[1:])/2
因此，分位数网格根据需要进行细化，以减少最大“u 误差”。
u_error = np.max(np.abs(dist.cdf(H(p_mid)) - p_mid))
低于指定的容差 u_resolution。当达到所需的容差或下一个细化后的网格间隔数超过最大允许间隔数（100000）时，细化停止。
>>> from scipy.stats.sampling import NumericalInverseHermite
>>> from scipy.stats import norm, genexpon
>>> from scipy.special import ndtr
要创建一个从标准正态分布中采样的生成器，请执行以下操作
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
... def cdf(self, x):
... return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, random_state=urng)
NumericalInverseHermite 具有一个方法，该方法近似于分布的 PPF。
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> p = np.linspace(0.01, 0.99, 99) # percentiles from 1% to 99%
>>> np.allclose(rng.ppf(p), norm.ppf(p))
True
根据分布随机采样方法的实现，在给定相同的随机状态下，生成的随机变量可能几乎相同。
>>> dist = genexpon(9, 16, 3)
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist)
>>> # `seed` ensures identical random streams are used by each `rvs` method
>>> seed = 500072020
>>> rvs1 = dist.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> rvs2 = rng.rvs(size=100, random_state=np.random.default_rng(seed))
>>> np.allclose(rvs1, rvs2)
True
为了检查随机变量是否紧密地遵循给定的分布，我们可以查看它的直方图
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, random_state=urng)
>>> rvs = rng.rvs(10000)
>>> x = np.linspace(rvs.min()-0.1, rvs.max()+0.1, 1000)
>>> fx = norm.pdf(x)
>>> plt.plot(x, fx, 'r-', lw=2, label='true distribution')
>>> plt.hist(rvs, bins=20, density=True, alpha=0.8, label='random variates')
>>> plt.xlabel('x')
>>> plt.ylabel('PDF(x)')
>>> plt.title('Numerical Inverse Hermite Samples')
>>> plt.legend()
>>> plt.show()
给定 PDF 相对于变量（即 x）的导数，我们可以使用五次 Hermite 插值通过传递 order 参数来近似 PPF
>>> class StandardNormal:
... def pdf(self, x):
... return 1/np.sqrt(2*np.pi) * np.exp(-x**2 / 2)
... def dpdf(self, x):
... return -1/np.sqrt(2*np.pi) * x * np.exp(-x**2 / 2)
... def cdf(self, x):
... return ndtr(x)
...
>>> dist = StandardNormal()
>>> urng = np.random.default_rng()
>>> rng = NumericalInverseHermite(dist, order=5, random_state=urng)
更高阶会导致更少的间隔数
>>> rng3 = NumericalInverseHermite(dist, order=3)
>>> rng5 = NumericalInverseHermite(dist, order=5)
>>> rng3.intervals, rng5.intervals
(3000, 522)
可以通过调用 u_error 方法来估计 u 误差。它运行一个小的蒙特卡罗模拟来估计 u 误差。默认情况下，使用 100,000 个样本。这可以通过传递 sample_size 参数来更改
>>> rng1 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> rng1.u_error(sample_size=1000000) # uses one million samples
UError(max_error=9.53167544892608e-11, mean_absolute_error=2.2450136432146864e-11)
这将返回一个命名元组，其中包含最大 u 误差和平均绝对 u 误差。
可以通过降低 u 分辨率（最大允许 u 误差）来降低 u 误差
>>> rng2 = NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> rng2.u_error(sample_size=1000000)
UError(max_error=9.32027892364129e-14, mean_absolute_error=1.5194172675685075e-14)
请注意，由于设置时间和间隔数的增加，这会以计算时间的代价为代价。
>>> rng1.intervals
1022
>>> rng2.intervals
5687
>>> from timeit import timeit
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-10)
>>> timeit(f, number=1)
0.017409582000254886 # may vary
>>> f = lambda: NumericalInverseHermite(dist, u_resolution=1e-13)
>>> timeit(f, number=1)
0.08671202100003939 # may vary