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连续统计分布#

概述#

所有分布将具有位置 (L) 和尺度 (S) 参数，以及任何所需的形状参数，形状参数的名称将有所不同。分布的标准形式将给出，其中 \(L=0.0\) 和 \(S=1.0.\) 非标准形式可以通过使用各种函数获得（注意 \(U\) 是标准均匀随机变量）。

函数名称

标准函数

变换

累积分布函数 (CDF)

\(F\left(x\right)\)

\(F\left(x;L,S\right)=F\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

概率密度函数 (PDF)

\(f\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)\)

\(f\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}f\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

百分位数函数 (PPF)

\(G\left(q\right)=F^{-1}\left(q\right)\)

\(G\left(q;L,S\right)=L+SG\left(q\right)\)

概率稀疏函数 (PSF)

\(g\left(q\right)=G^{\prime}\left(q\right)\)

\(g\left(q;L,S\right)=Sg\left(q\right)\)

风险函数 (HF)

\(h_{a}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{1-F\left(x\right)}\)

\(h_{a}\left(x;L,S\right)=\frac{1}{S}h_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

累积风险函数 (CHF)

\(H_{a}\left(x\right)=\) \(\log\frac{1}{1-F\left(x\right)}\)

\(H_{a}\left(x;L,S\right)=H_{a}\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

生存函数 (SF)

\(S\left(x\right)=1-F\left(x\right)\)

\(S\left(x;L,S\right)=S\left(\frac{\left(x-L\right)}{S}\right)\)

逆生存函数 (ISF)

\(Z\left(\alpha\right)=S^{-1}\left(\alpha\right)=G\left(1-\alpha\right)\)

\(Z\left(\alpha;L,S\right)=L+SZ\left(\alpha\right)\)

矩生成函数 (MGF)

\(M_{Y}\left(t\right)=E\left[e^{Yt}\right]\)

\(M_{X}\left(t\right)=e^{Lt}M_{Y}\left(St\right)\)

随机变量

\(Y=G\left(U\right)\)

\(X=L+SY\)

(微分) 熵

\(h\left[Y\right]=-\int f\left(y\right)\log f\left(y\right)dy\)

\(h\left[X\right]=h\left[Y\right]+\log S\)

(非中心) 矩

\(\mu_{n}^{\prime}=E\left[Y^{n}\right]\)

\(E\left[X^{n}\right]=L^{n}\sum_{k=0}^{N}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(\frac{S}{L}\right)^{k}\mu_{k}^{\prime}\)

中心矩

\(\mu_{n}=E\left[\left(Y-\mu\right)^{n}\right]\)

\(E\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{n}\right]=S^{n}\mu_{n}\)

均值（众数，中位数），方差

\(\mu,\,\mu_{2}\)

\(L+S\mu,\, S^{2}\mu_{2}\)

偏度

\(\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left(\mu_{2}\right)^{3/2}}\)

\(\gamma_{1}\)

峰度

\(\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\left(\mu_{2}\right)^{2}}-3\)

\(\gamma_{2}\)

矩#

非中心矩使用 PDF 定义

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f\left(x\right)dx.\]

注意，这些始终可以使用 PPF 计算。在上述方程中代入 \(x=G\left(q\right)\)，得到

\[\mu_{n}^{\prime}=\int_{0}^{1}G^{n}\left(q\right)dq\]

这可能更容易用数值计算。注意 \(q=F\left(x\right)\)，所以 \(dq=f\left(x\right)dx.\) 中心矩的计算方式类似 \(\mu=\mu_{1}^{\prime}\)

\begin{eqnarray*} \mu_{n} & = & \int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu\right)^{n}f\left(x\right)dx\\ & = & \int_{0}^{1}\left(G\left(q\right)-\mu\right)^{n}dq\\ & = & \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)\left(-\mu\right)^{k}\mu_{n-k}^{\prime}\end{eqnarray*}

特别是

\begin{eqnarray*} \mu_{3} & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}^{\prime}+2\mu^{3}\\ & = & \mu_{3}^{\prime}-3\mu\mu_{2}-\mu^{3}\\ \mu_{4} & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}^{\prime}+6\mu^{2}\mu_{2}^{\prime}-3\mu^{4}\\ & = & \mu_{4}^{\prime}-4\mu\mu_{3}-6\mu^{2}\mu_{2}-\mu^{4}\end{eqnarray*}

偏度定义为

\[\gamma_{1}=\sqrt{\beta_{1}}=\frac{\mu_{3}}{\mu_{2}^{3/2}}\]

而（费舍尔）峰度为

\[\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^{2}}-3,\]

因此正态分布的峰度为零。

中位数和众数#

中位数，\(m_{n}\) 定义为密度的一半在一边，一半在另一边的点。换句话说，\(F\left(m_{n}\right)=\frac{1}{2}\)，因此

\[m_{n}=G\left(\frac{1}{2}\right).\]

此外，众数，\(m_{d}\)，定义为概率密度函数达到峰值的点

\[m_{d}=\arg\max_{x}f\left(x\right).\]

拟合数据#

为了将数据拟合到分布，最大化似然函数是一种常见方法。或者，一些分布具有众所周知的最小方差无偏估计量。这些将被默认选择，但似然函数将始终可用以最小化。

如果 \(f\left(x;\boldsymbol{\theta}\right)\) 是一个随机变量的 PDF，其中 \(\boldsymbol{\theta}\) 是参数向量（例如 \(L\) 和 \(S\)），那么对于来自该分布的 \(N\) 个独立样本的集合，随机向量 \(\mathbf{x}\) 的联合分布为

\[f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)=\prod_{i=1}^{N}f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right).\]

参数 \(\boldsymbol{\theta}\) 的最大似然估计是使该函数最大化的参数，其中 \(\mathbf{x}\) 固定且由数据给出

\begin{eqnarray*} \boldsymbol{\theta}_{es} & = & \arg\max_{\boldsymbol{\theta}}f\left(\mathbf{x};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & \arg\min_{\boldsymbol{\theta}}l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right).\end{eqnarray*}

其中

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(\boldsymbol{\theta}\right) & = & -\sum_{i=1}^{N}\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & -N\overline{\log f\left(x_{i};\boldsymbol{\theta}\right)}\end{eqnarray*}

请注意，如果 \(\boldsymbol{\theta}\) 仅包含形状参数，则可以通过将 \(x_{i}\) 替换为 \(\left(x_{i}-L\right)/S\) 在对数似然函数中添加 \(N\log S\) 并最小化来拟合位置和尺度参数，因此

\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{x}}\left(L,S;\boldsymbol{\theta}\right) & = & N\log S-\sum_{i=1}^{N}\log f\left(\frac{x_{i}-L}{S};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & N\log S+l_{\frac{\mathbf{x}-S}{L}}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\end{eqnarray*}

如果需要，可以使用样本估计的均值和方差来获得 \(L\) 和 \(S\) 的样本估计（不一定是最大似然估计）

\begin{eqnarray*} \hat{S} & = & \sqrt{\frac{\hat{\mu}_{2}}{\mu_{2}}}\\ \hat{L} & = & \hat{\mu}-\hat{S}\mu\end{eqnarray*}

其中 \(\mu\) 和 \(\mu_{2}\) 被假定为已知，分别是 **未变换** 分布的均值和方差（当 \(L=0\) 和 \(S=1\) 时），并且

\begin{eqnarray*} \hat{\mu} & = & \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}=\bar{\mathbf{x}}\\ \hat{\mu}_{2} & = & \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\hat{\mu}\right)^{2}=\frac{N}{N-1}\overline{\left(\mathbf{x}-\bar{\mathbf{x}}\right)^{2}}\end{eqnarray*}

均值的标准符号#

我们将使用

\[\overline{y\left(\mathbf{x}\right)}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y\left(x_{i}\right)\]

其中 \(N\) 应该从上下文中明确，表示样本数 \(x_{i}\)

参考文献#

在教程中，一些特殊函数反复出现，并在此列出。

符号

描述

定义

\(\gamma\left(s, x\right)\)

下不完全伽马函数

\(\int_0^x t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(\Gamma\left(s, x\right)\)

上不完全伽马函数

\(\int_x^\infty t^{s-1} e^{-t} dt\)

\(B\left(x;a,b\right)\)

不完全贝塔函数

\(\int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(I\left(x;a,b\right)\)

正则化不完全贝塔函数

\(\frac{\Gamma\left(a+b\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)} \int_{0}^{x} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt\)

\(\phi\left(x\right)\)

正态分布的概率密度函数

\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\)

\(\Phi\left(x\right)\)

正态分布的累积分布函数

\(\int_{-\infty}^{x}\phi\left(t\right) dt = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\)

\(\psi\left(z\right)\)

双伽马函数

\(\frac{d}{dz} \log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(\psi_{n}\left(z\right)\)

多伽马函数

\(\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\left(\Gamma\left(z\right)\right)\)

\(I_{\nu}\left(y\right)\)

第一类修正贝塞尔函数

\(\mathrm{Ei}(\mathrm{z})\)

指数积分

\(-\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt\)

\(\zeta\left(n\right)\)

黎曼ζ函数

\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}}\)

\(\zeta\left(n,z\right)\)

赫维茨ζ函数

\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\left(k+z\right)^{n}}\)

\(\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q};z)\)

超几何函数

\(\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(a_{1})_{n}\cdots(a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots(b_{q})_{n}}} \,{\frac{z^{n}}{n!}}\)

在 scipy.stats 中的连续分布#

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