重采样和蒙特卡罗方法#

介绍#

重采样和蒙特卡罗方法是统计技术，它们用大量的计算来代替数学分析。

例如，假设你和你的兄弟凯尔发现自己沿着一条漫长而孤独的道路搭便车。突然，一个闪闪发光的恶魔出现在……路中间……他说道

如果你掷一枚正面概率为 \(p=0.5\) 的硬币，正好掷 \(n=100\) 次，那么正面次数小于或等于 \(x=45\) 的概率是多少？答对了，否则我就吃掉你们的灵魂。
>>> import math
>>> import numpy as np
>>> p = 0.5  # probability of flipping heads each flip
>>> n = 100  # number of coin flips per trial
>>> x = 45  # we want to know the probability that the number of heads per trial will be less than or equal to this

你的兄弟凯尔是分析型的。他回答道

随着硬币抛掷次数的增加，正面次数的分布将趋向于正态分布，其均值为 \(\mu = p n\)，标准差为 \(\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}\)，其中 \(p = 0.5\) 是正面概率，\(n=100\) 是抛掷次数。 \(x=45\) 次正面的概率可以近似为该正态分布的累积密度函数 \(F(x)\)。具体来说

\[F(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \mbox{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right]\]

>>> # Kyle's Analytical Approach
>>> mean = p*n
>>> std = math.sqrt(n*p*(1-p))
>>> # CDF of the normal distribution. (Unfortunately, Kyle forgets a continuity correction that would produce a more accurate answer.)
>>> prob = 0.5 * (1 + math.erf((x - mean) / (std * math.sqrt(2))))
>>> print(f"The normal approximation estimates the probability as {prob}")
The normal approximation estimates the probability as 0.15865525393145713

你比较务实，所以你决定采取计算方法（更准确地说，是蒙特卡罗方法）：模拟许多硬币抛掷序列，计算每次抛掷的正面次数，并将概率估计为正面次数不超过 45 的序列的比例。

>>> # Your Monte Carlo Approach
>>> N = 100000  # We'll do 100000 trials, each with 100 flips
>>> rng = np.random.default_rng()  # use the "new" Generator interface
>>> simulation = rng.random(size=(n, N)) < p  # False for tails, True for heads
>>> counts = np.sum(simulation, axis=0)  # count the number of heads each trial
>>> prob = np.sum(counts <= x) / N  # estimate the probability as the observed proportion of cases in which the count did not exceed 45
>>> print(f"The Monte Carlo approach estimates the probability as {prob}")
The Monte Carlo approach estimates the probability as 0.18348

恶魔回答道

你们两个都错了。概率由二项分布给出。具体来说。

\[\sum_{i=0}^{x} {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i}\]

>>> # The Demon's Exact Probability
>>> from scipy.stats import binom
>>> prob = binom.cdf(x, n, p)
>>> print(f"The correct answer is approximately {prob}")
The correct answer is approximately 0.18410080866334788

当你的灵魂被吞噬时，你欣慰地意识到，你简单的蒙特卡罗方法比正态近似更准确。这并不罕见：当不知道精确答案时，计算近似通常比解析近似更准确。此外，恶魔很容易编造解析近似（更不用说精确答案）不可用的问题。在这种情况下，计算方法是唯一可行的途径。

虽然在可用时最好使用精确方法，但学习使用计算统计技术可以提高依赖解析近似的 scipy.stats 特征的准确性，极大地扩展你的统计分析能力，甚至提高你对统计学的理解。以下教程将帮助你开始在 scipy.stats. 中使用重采样和蒙特卡罗方法。