概率分布#

已经实现了两种通用的分布类来封装 连续随机变量 和 离散随机变量。使用这些类已经实现了超过 80 个连续随机变量 (RV) 和 10 个离散随机变量。有关各个分布的数学参考信息，请参见 连续统计分布 和 离散统计分布。

所有统计函数都位于子包 scipy.stats 中，并且还可以从 stats 子包的 docstring 获取这些函数和可用随机变量的相当完整的列表。

在下面的讨论中，我们主要关注连续 RV。几乎所有内容也适用于离散变量，但我们在下面指出了一些区别：离散分布的具体要点。

在下面的代码示例中，我们假设 scipy.stats 包被导入为

>>> from scipy import stats

在某些情况下，我们假设单个对象被导入为

>>> from scipy.stats import norm

所有分布

获取帮助#

首先，所有分布都附带帮助函数。要获得一些基本信息，我们打印相关的 docstring：print(stats.norm.__doc__)。

要找到支持，即分布的上限和下限，请调用

>>> print('bounds of distribution lower: %s, upper: %s' % norm.support())
bounds of distribution lower: -inf, upper: inf

我们可以使用 dir(norm) 列出分布的所有方法和属性。事实证明，其中一些方法是私有的，尽管它们没有被命名为私有（它们的名称不以下划线开头），例如 veccdf，仅供内部计算使用（这些方法在尝试使用时会发出警告，并且会在某一时刻被删除）。

要获得真正的主要方法，我们列出冻结分布的方法。（我们在下面解释冻结分布的含义）。

>>> rv = norm()
>>> dir(rv)  # reformatted
['__class__', '__delattr__', '__dict__', '__dir__', '__doc__', '__eq__',
 '__format__', '__ge__', '__getattribute__', '__gt__', '__hash__',
 '__init__', '__le__', '__lt__', '__module__', '__ne__', '__new__',
 '__reduce__', '__reduce_ex__', '__repr__', '__setattr__', '__sizeof__',
 '__str__', '__subclasshook__', '__weakref__', 'a', 'args', 'b', 'cdf',
 'dist', 'entropy', 'expect', 'interval', 'isf', 'kwds', 'logcdf',
 'logpdf', 'logpmf', 'logsf', 'mean', 'median', 'moment', 'pdf', 'pmf',
 'ppf', 'random_state', 'rvs', 'sf', 'stats', 'std', 'var']

最后，我们可以通过内省获得可用分布的列表

>>> dist_continu = [d for d in dir(stats) if
...                 isinstance(getattr(stats, d), stats.rv_continuous)]
>>> dist_discrete = [d for d in dir(stats) if
...                  isinstance(getattr(stats, d), stats.rv_discrete)]
>>> print('number of continuous distributions: %d' % len(dist_continu))
number of continuous distributions: 108
>>> print('number of discrete distributions:   %d' % len(dist_discrete))
number of discrete distributions:   20

常用方法#

连续 RV 的主要公共方法是

  • rvs：随机变量

  • pdf：概率密度函数

  • cdf：累积分布函数

  • sf：生存函数 (1-CDF)

  • ppf：百分比点函数 (CDF 的逆)

  • isf：逆生存函数 (SF 的逆)

  • stats：返回均值、方差、（费舍尔的）偏度或（费舍尔的）峰度

  • moment：分布的非中心矩

让我们以一个正态 RV 为例。

>>> norm.cdf(0)
0.5

要计算 cdf 在多个点的值，我们可以传递一个列表或一个 numpy 数组。

>>> norm.cdf([-1., 0, 1])
array([ 0.15865525,  0.5,  0.84134475])
>>> import numpy as np
>>> norm.cdf(np.array([-1., 0, 1]))
array([ 0.15865525,  0.5,  0.84134475])

因此，基本方法，如 pdf、cdf 等，都是向量化的。

其他一些通用的方法也得到了支持

>>> norm.mean(), norm.std(), norm.var()
(0.0, 1.0, 1.0)
>>> norm.stats(moments="mv")
(array(0.0), array(1.0))

要找到分布的中位数，我们可以使用百分比点函数 ppf，它是 cdf 的逆

>>> norm.ppf(0.5)
0.0

要生成一系列随机变量，请使用 size 关键字参数

>>> norm.rvs(size=3)
array([-0.35687759,  1.34347647, -0.11710531])   # random

不要认为 norm.rvs(5) 生成 5 个变量

>>> norm.rvs(5)
5.471435163732493  # random

在这里，没有关键字的 5 被解释为第一个可能的关键字参数 loc，它是所有连续分布采用的两个关键字参数中的第一个。这将我们带到了下一小节的主题。

随机数生成#

绘制随机数依赖于来自 numpy.random 包的生成器。在上面的示例中，特定的随机数流在不同运行之间不可重现。要实现可重现性，您可以显式地为随机数生成器设置种子。在 NumPy 中，生成器是 numpy.random.Generator 的实例。以下是创建生成器的规范方法

>>> from numpy.random import default_rng
>>> rng = default_rng()

并且可以像这样修复种子

>>> # do NOT copy this value
>>> rng = default_rng(301439351238479871608357552876690613766)

警告

不要使用此数字或常用的值，例如 0。仅使用一小部分种子来实例化更大的状态空间意味着无法到达某些初始状态。如果每个人都使用这些值，就会造成一些偏差。获得种子的好方法是使用 numpy.random.SeedSequence

>>> from numpy.random import SeedSequence
>>> print(SeedSequence().entropy)
301439351238479871608357552876690613766  # random

分布中的 random_state 参数接受 numpy.random.Generator 类的实例，或者一个整数，然后用来为内部 Generator 对象设置种子

>>> norm.rvs(size=5, random_state=rng)
array([ 0.47143516, -1.19097569,  1.43270697, -0.3126519 , -0.72058873])  # random

有关更多信息，请参见 NumPy 的文档。

要详细了解在 SciPy 中实现的随机数采样器，请参见 非均匀随机数采样教程 和 拟蒙特卡罗教程

移位和缩放#

所有连续分布都将 loc 和 scale 作为关键字参数来调整分布的位置和尺度，例如，对于标准正态分布，位置是均值，尺度是标准差。

>>> norm.stats(loc=3, scale=4, moments="mv")
(array(3.0), array(16.0))

在许多情况下，随机变量 X 的标准化分布是通过转换 (X - loc) / scale 获得的。默认值为 loc = 0 和 scale = 1。

明智地使用 loc 和 scale 可以帮助以多种方式修改标准分布。为了进一步说明缩放，具有均值 \(1/\lambda\) 的指数分布 RV 的 cdf 由下式给出

\[F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)\]

通过应用上面的缩放规则，可以看出，通过取 scale  = 1./lambda，我们获得了正确的尺度。

>>> from scipy.stats import expon
>>> expon.mean(scale=3.)
3.0

注意

采用形状参数的分布可能需要比简单地应用 loc 和/或 scale 更多操作才能获得所需的形状。例如，在每个分量中被独立的 N(0, \(\sigma^2\)) 偏差扰动后，给定长度为 \(R\) 的常向量，二维向量长度的分布是 rice(\(R/\sigma\), scale= \(\sigma\))。第一个参数是一个形状参数，需要与 \(x\) 一起缩放。

均匀分布也很有趣

>>> from scipy.stats import uniform
>>> uniform.cdf([0, 1, 2, 3, 4, 5], loc=1, scale=4)
array([ 0.  ,  0.  ,  0.25,  0.5 ,  0.75,  1.  ])

最后，回想一下上一段中我们遇到的 norm.rvs(5) 的含义问题。事实证明，调用一个这样的分布，第一个参数，即 5，被传递用于设置 loc 参数。让我们看看

>>> np.mean(norm.rvs(5, size=500))
5.0098355106969992  # random

因此，为了解释上一节示例的输出：norm.rvs(5) 生成一个均值为 loc=5 的单个正态分布随机变量，因为默认的 size=1。

我们建议您明确设置 loc 和 scale 参数，通过将值作为关键字传递而不是作为参数传递。当调用给定 RV 的多个方法时，可以通过使用 冻结分布 的技术来最大程度地减少重复，如下所述。

形状参数#

虽然一般连续随机变量可以使用 loc 和 scale 参数进行平移和缩放，但某些分布需要额外的形状参数。例如，密度为

\[\gamma(x, a) = \frac{\lambda (\lambda x)^{a-1}}{\Gamma(a)} e^{-\lambda x}\;,\]

的伽马分布需要形状参数 \(a\)。观察到通过将 scale 关键字设置为 \(1/\lambda\) 可以得到 \(\lambda\) 的设置。

让我们检查伽马分布的形状参数的数量和名称。（我们从上面知道这应该是 1。）

>>> from scipy.stats import gamma
>>> gamma.numargs
1
>>> gamma.shapes
'a'

现在，我们将形状变量的值设置为 1 以获得指数分布，以便我们轻松比较是否得到预期的结果。

>>> gamma(1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))

请注意，我们也可以将形状参数指定为关键字

>>> gamma(a=1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))

冻结分布#

一次又一次地传递 loc 和 scale 关键字可能会变得很麻烦。 冻结 RV 的概念用于解决此类问题。

>>> rv = gamma(1, scale=2.)

通过使用 rv，我们不再需要包含比例或形状参数。因此，分布可以用两种方式之一使用，要么将所有分布参数传递给每个方法调用（就像我们之前所做的那样），要么冻结分布实例的参数。让我们检查一下

>>> rv.mean(), rv.std()
(2.0, 2.0)

这确实是我们应该得到的。

广播#

基本方法 pdf 等等满足通常的 numpy 广播规则。例如，我们可以计算 t 分布上尾部的临界值，用于不同的概率和自由度。

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [[10], [11]])
array([[ 1.37218364,  1.81246112,  2.76376946],
       [ 1.36343032,  1.79588482,  2.71807918]])

这里，第一行包含 10 个自由度的临界值，第二行包含 11 个自由度的临界值（d.o.f.）。因此，广播规则给出了调用 isf 两次的结果

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 10)
array([ 1.37218364,  1.81246112,  2.76376946])
>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 11)
array([ 1.36343032,  1.79588482,  2.71807918])

如果带有概率的数组，即 [0.1, 0.05, 0.01] 和自由度数组，即 [10, 11, 12]，具有相同的数组形状，则使用逐元素匹配。例如，我们可以通过调用以下方法获得 10 个 d.o.f. 的 10% 尾部、11 个 d.o.f. 的 5% 尾部和 12 个 d.o.f. 的 1% 尾部

>>> stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [10, 11, 12])
array([ 1.37218364,  1.79588482,  2.68099799])

离散分布的具体点#

离散分布与连续分布具有大部分相同的基本方法。但是，pdf 被概率质量函数 pmf 替换，没有诸如 fit 之类的估计方法，并且 scale 不是有效的关键字参数。位置参数，关键字 loc，仍然可以用来移动分布。

cdf 的计算需要一些额外的注意。在连续分布的情况下，累积分布函数在大多数标准情况下在边界 (a,b) 上严格单调递增，因此具有唯一的逆。然而，离散分布的 cdf 是阶跃函数，因此逆 cdf，即百分点函数，需要不同的定义

ppf(q) = min{x : cdf(x) >= q, x integer}

有关更多信息，请参见文档 这里。

我们可以将超几何分布作为一个例子

>>> from scipy.stats import hypergeom
>>> [M, n, N] = [20, 7, 12]

如果我们在某些整数值上使用 cdf，然后在这些 cdf 值上评估 ppf，我们会得到最初的整数，例如

>>> x = np.arange(4) * 2
>>> x
array([0, 2, 4, 6])
>>> prb = hypergeom.cdf(x, M, n, N)
>>> prb
array([  1.03199174e-04,   5.21155831e-02,   6.08359133e-01,
         9.89783282e-01])
>>> hypergeom.ppf(prb, M, n, N)
array([ 0.,  2.,  4.,  6.])

如果我们使用不在 cdf 阶跃函数拐点的值，我们会得到下一个更高的整数

>>> hypergeom.ppf(prb + 1e-8, M, n, N)
array([ 1.,  3.,  5.,  7.])
>>> hypergeom.ppf(prb - 1e-8, M, n, N)
array([ 0.,  2.,  4.,  6.])

拟合分布#

非冻结分布的主要附加方法与分布参数的估计有关

  • fit：包括位置在内的分布参数的最大似然估计

    和比例

  • fit_loc_scale：给定形状参数时位置和比例的估计

  • nnlf：负对数似然函数

  • expect：计算函数对 pdf 或 pmf 的期望

性能问题和注意事项#

就速度而言，各个方法的性能因分布和方法而异。方法的结果通过两种方式之一获得：要么通过显式计算，要么通过独立于特定分布的通用算法获得。

一方面，显式计算需要为给定的分布直接指定方法，无论是通过解析公式，还是通过 scipy.special 或 numpy.random 中的特殊函数来指定 rvs。这些通常是比较快的计算。

另一方面，如果分布没有指定任何显式计算，则使用通用方法。要定义分布，只需要 pdf 或 cdf 之一；所有其他方法都可以使用数值积分和求根来推导。但是，这些间接方法可能非常慢。例如，rgh = stats.gausshyper.rvs(0.5, 2, 2, 2, size=100) 以非常间接的方式创建随机变量，在我的计算机上生成 100 个随机变量大约需要 19 秒，而从标准正态分布或 t 分布生成一百万个随机变量仅需要一秒多一点。

剩余问题#

scipy.stats 中的分布最近已得到纠正和改进，并获得了相当多的测试套件；但是，仍然存在一些问题

  • 分布已在一定参数范围内进行了测试；但是，在一些角落范围内，可能仍然存在一些错误的结果。

  • fit 中的最大似然估计不适用于所有分布的默认起始参数，用户需要提供良好的起始参数。此外，对于某些分布，使用最大似然估计可能天生就不是最好的选择。

构建特定分布#

以下示例展示了如何构建您自己的分布。进一步的示例展示了分布的使用以及一些统计检验。

创建连续分布，即子类化 rv_continuous#

创建连续分布相当简单。

>>> from scipy import stats
>>> class deterministic_gen(stats.rv_continuous):
...     def _cdf(self, x):
...         return np.where(x < 0, 0., 1.)
...     def _stats(self):
...         return 0., 0., 0., 0.

>>> deterministic = deterministic_gen(name="deterministic")
>>> deterministic.cdf(np.arange(-3, 3, 0.5))
array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.,  1.])

有趣的是，pdf 现在会自动计算

>>> deterministic.pdf(np.arange(-3, 3, 0.5))
array([  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00,
         0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00,
         5.83333333e+04,   4.16333634e-12,   4.16333634e-12,
         4.16333634e-12,   4.16333634e-12,   4.16333634e-12])

请注意 性能问题和注意事项 中提到的性能问题。未指定通用方法的计算可能变得非常慢，因为只调用通用方法，这些方法本质上不能使用任何关于分布的特定信息。因此，作为一个警示性示例

>>> from scipy.integrate import quad
>>> quad(deterministic.pdf, -1e-1, 1e-1)
(4.163336342344337e-13, 0.0)

但这不正确：该 pdf 上的积分应该是 1。让我们缩小积分区间

>>> quad(deterministic.pdf, -1e-3, 1e-3)  # warning removed
(1.000076872229173, 0.0010625571718182458)

这看起来好多了。但是，问题源于在确定性分布的类定义中没有指定 pdf。

子类化 rv_discrete#

在下文中，我们使用 stats.rv_discrete 来生成一个离散分布，该分布具有截断正态分布在以整数为中心的区间上的概率。

一般信息

从 rv_discrete 的文档字符串 help(stats.rv_discrete) 中，

“您可以构建一个任意的离散 rv，其中 P{X=xk} = pk，方法是将一个序列元组 (xk, pk) 传递给 rv_discrete 初始化方法（通过 values= 关键字），该元组仅描述 X (xk) 的那些以非零概率 (pk) 出现的价值。”

除此之外，这种方法需要满足一些进一步的要求才能使其正常工作

  • 关键字 name 是必需的。

  • 分布的支撑点 xk 必须是整数。

  • 需要指定有效数字（小数）的数量。

事实上，如果不满足最后两个要求，可能会引发异常或导致生成的结果不正确。

一个例子

让我们来完成这项工作。首先

>>> npoints = 20   # number of integer support points of the distribution minus 1
>>> npointsh = npoints // 2
>>> npointsf = float(npoints)
>>> nbound = 4   # bounds for the truncated normal
>>> normbound = (1+1/npointsf) * nbound   # actual bounds of truncated normal
>>> grid = np.arange(-npointsh, npointsh+2, 1)   # integer grid
>>> gridlimitsnorm = (grid-0.5) / npointsh * nbound   # bin limits for the truncnorm
>>> gridlimits = grid - 0.5   # used later in the analysis
>>> grid = grid[:-1]
>>> probs = np.diff(stats.truncnorm.cdf(gridlimitsnorm, -normbound, normbound))
>>> gridint = grid

最后，我们可以子类化 rv_discrete

>>> normdiscrete = stats.rv_discrete(values=(gridint,
...              np.round(probs, decimals=7)), name='normdiscrete')

现在我们已经定义了分布，我们可以访问离散分布的所有常用方法。

>>> print('mean = %6.4f, variance = %6.4f, skew = %6.4f, kurtosis = %6.4f' %
...       normdiscrete.stats(moments='mvsk'))
mean = -0.0000, variance = 6.3302, skew = 0.0000, kurtosis = -0.0076

>>> nd_std = np.sqrt(normdiscrete.stats(moments='v'))

测试实现

让我们生成一个随机样本，并将观察到的频率与概率进行比较。

>>> n_sample = 500
>>> rvs = normdiscrete.rvs(size=n_sample)
>>> f, l = np.histogram(rvs, bins=gridlimits)
>>> sfreq = np.vstack([gridint, f, probs*n_sample]).T
>>> print(sfreq)
[[-1.00000000e+01  0.00000000e+00  2.95019349e-02]  # random
 [-9.00000000e+00  0.00000000e+00  1.32294142e-01]
 [-8.00000000e+00  0.00000000e+00  5.06497902e-01]
 [-7.00000000e+00  2.00000000e+00  1.65568919e+00]
 [-6.00000000e+00  1.00000000e+00  4.62125309e+00]
 [-5.00000000e+00  9.00000000e+00  1.10137298e+01]
 [-4.00000000e+00  2.60000000e+01  2.24137683e+01]
 [-3.00000000e+00  3.70000000e+01  3.89503370e+01]
 [-2.00000000e+00  5.10000000e+01  5.78004747e+01]
 [-1.00000000e+00  7.10000000e+01  7.32455414e+01]
 [ 0.00000000e+00  7.40000000e+01  7.92618251e+01]
 [ 1.00000000e+00  8.90000000e+01  7.32455414e+01]
 [ 2.00000000e+00  5.50000000e+01  5.78004747e+01]
 [ 3.00000000e+00  5.00000000e+01  3.89503370e+01]
 [ 4.00000000e+00  1.70000000e+01  2.24137683e+01]
 [ 5.00000000e+00  1.10000000e+01  1.10137298e+01]
 [ 6.00000000e+00  4.00000000e+00  4.62125309e+00]
 [ 7.00000000e+00  3.00000000e+00  1.65568919e+00]
 [ 8.00000000e+00  0.00000000e+00  5.06497902e-01]
 [ 9.00000000e+00  0.00000000e+00  1.32294142e-01]
 [ 1.00000000e+01  0.00000000e+00  2.95019349e-02]]
"An X-Y histogram plot showing the distribution of random variates. A blue trace shows a normal bell curve. A blue bar chart perfectly approximates the curve showing the true distribution. A red bar chart representing the sample is well described by the blue trace but not exact."
"An X-Y histogram plot showing the cumulative distribution of random variates. A blue trace shows a CDF for a typical normal distribution. A blue bar chart perfectly approximates the curve showing the true distribution. A red bar chart representing the sample is well described by the blue trace but not exact."

接下来，我们可以测试我们的样本是否是由我们的 norm-discrete 分布生成的。这也验证了随机数是否正确生成。

卡方检验要求每个 bin 中至少有一个观测值。我们将尾部 bin 合并成更大的 bin，以便它们包含足够的观测值。

>>> f2 = np.hstack([f[:5].sum(), f[5:-5], f[-5:].sum()])
>>> p2 = np.hstack([probs[:5].sum(), probs[5:-5], probs[-5:].sum()])
>>> ch2, pval = stats.chisquare(f2, p2*n_sample)

>>> print('chisquare for normdiscrete: chi2 = %6.3f pvalue = %6.4f' % (ch2, pval))
chisquare for normdiscrete: chi2 = 12.466 pvalue = 0.4090  # random

在这种情况下，p 值很高，因此我们可以相当有把握地认为我们的随机样本实际上是由分布生成的。

本页内容