优化和求根 (scipy.optimize)

SciPy optimize 提供用于最小化（或最大化）目标函数的功能，可能受约束。它包括用于非线性问题的求解器（支持局部和全局优化算法）、线性规划、约束和非线性最小二乘法、求根和曲线拟合。

不同求解器之间共享的通用函数和对象是

show_options([solver, method, disp])	显示优化求解器附加选项的文档。
OptimizeResult	表示优化结果。
OptimizeWarning

优化

标量函数优化

minimize_scalar(fun[, bracket, bounds, ...])

单个变量标量函数的局部最小化。

minimize_scalar 函数支持以下方法

• minimize_scalar(method=’brent’)
• minimize_scalar(method=’bounded’)
• minimize_scalar(method=’golden’)

局部（多元）优化

minimize(fun, x0[, args, method, jac, hess, ...])

一个或多个变量的标量函数的最小化。

minimize 函数支持以下方法

• minimize(method=’Nelder-Mead’)
• minimize(method=’Powell’)
• minimize(method=’CG’)
• minimize(method=’BFGS’)
• minimize(method=’Newton-CG’)
• minimize(method=’L-BFGS-B’)
• minimize(method=’TNC’)
• minimize(method=’COBYLA’)
• minimize(method=’COBYQA’)
• minimize(method=’SLSQP’)
• minimize(method=’trust-constr’)
• minimize(method=’dogleg’)
• minimize(method=’trust-ncg’)
• minimize(method=’trust-krylov’)
• minimize(method=’trust-exact’)

约束作为单个对象或来自以下类的对象列表传递给 minimize 函数

NonlinearConstraint(fun, lb, ub[, jac, ...])	对变量的非线性约束。
LinearConstraint(A[, lb, ub, keep_feasible])	对变量的线性约束。

简单边界约束单独处理，有一个特殊的类用于它们

Bounds([lb, ub, keep_feasible])

对变量的边界约束。

在 minimize 函数中，可以使用实现 HessianUpdateStrategy 接口的拟牛顿策略来近似海森矩阵（仅适用于 'trust-constr' 方法）。实现此接口的可用拟牛顿方法为

BFGS([exception_strategy, min_curvature, ...])	Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 海森矩阵更新策略。
SR1([min_denominator, init_scale])	对称秩 1 海森矩阵更新策略。

全局优化

basinhopping(func, x0[, niter, T, stepsize, ...])	使用盆地跳跃算法寻找函数的全局最小值。
brute(func, ranges[, args, Ns, full_output, ...])	通过蛮力方法在给定范围内最小化函数。
differential_evolution(func, bounds[, args, ...])	寻找多元函数的全局最小值。
shgo(func, bounds[, args, constraints, n, ...])	使用 SHG 优化寻找函数的全局最小值。
dual_annealing(func, bounds[, args, ...])	使用双退火寻找函数的全局最小值。
direct(func, bounds, *[, args, eps, maxfun, ...])	使用 DIRECT 算法寻找函数的全局最小值。

最小二乘法和曲线拟合

非线性最小二乘法

least_squares(fun, x0[, jac, bounds, ...])

求解变量有界限的非线性最小二乘法问题。

线性最小二乘法

nnls(A, b[, maxiter, atol])	求解 argmin_x || Ax - b ||_2 for x>=0.
lsq_linear(A, b[, bounds, method, tol, ...])	求解变量有界限的线性最小二乘法问题。
isotonic_regression(y, *[, weights, increasing])	非参数等距回归。

曲线拟合

curve_fit(f, xdata, ydata[, p0, sigma, ...])

使用非线性最小二乘法将函数 f 拟合到数据。

求根

标量函数

root_scalar(f[, args, method, bracket, ...])	寻找标量函数的根。
brentq(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用 Brent 方法在括号区间中寻找函数的根。
brenth(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用带有双曲线外推法的 Brent 方法在括号区间中寻找函数的根。
ridder(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用 Ridder 方法在区间中寻找函数的根。
bisect(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用二分法在区间内寻找函数的根。
newton(func, x0[, fprime, args, tol, ...])	使用牛顿-拉夫森（或割线或哈雷）方法寻找实数或复数函数的根。
toms748(f, a, b[, args, k, xtol, rtol, ...])	使用 TOMS 算法 748 方法寻找根。
RootResults(root, iterations, ...)	表示求根结果。

root_scalar 函数支持以下方法

• root_scalar(method=’brentq’)
• root_scalar(method=’brenth’)
• root_scalar(method=’bisect’)
• root_scalar(method=’ridder’)
• root_scalar(method=’newton’)
• root_scalar(method=’toms748’)
• root_scalar(method=’secant’)
• root_scalar(method=’halley’)

下表列出了各种情况和合适的求解方法，以及成功收敛到简单根 (*) 时每次迭代（以及每次函数评估）的 *渐近* 收敛速度。二分法是最慢的方法之一，每次函数评估增加一位精度，但保证收敛。其他括号方法都（最终）在每次函数评估时将精确位的数量增加约 50%。基于导数的方法，都是基于 newton 构建的，如果初始值接近根，则可以非常快地收敛。它们也可以应用于定义在（复平面子集上的）函数。

f 的定义域	括号？	导数？		求解器	收敛
		fprime	fprime2		保证？	速度 (*)
R	是	N/A	N/A	二分法 brentq brenth ridder toms748	是 是 是 是 是	1 “线性” >=1, <= 1.62 >=1, <= 1.62 2.0 (1.41) 2.7 (1.65)
R 或 C	否	否	否	割线法	否	1.62 (1.62)
R 或 C	否	是	否	牛顿法	否	2.00 (1.41)
R 或 C	否	是	是	哈雷法	否	3.00 (1.44)

参见

scipy.optimize.cython_optimize – 寻根函数的类型化 Cython 版本

不动点求解

fixed_point(func, x0[, args, xtol, maxiter, ...])

找到函数的不动点。

多维

root(fun, x0[, args, method, jac, tol, ...])

找到向量函数的根。

root 函数支持以下方法

• root(method=’hybr’)
• root(method=’lm’)
• root(method=’broyden1’)
• root(method=’broyden2’)
• root(method=’anderson’)
• root(method=’linearmixing’)
• root(method=’diagbroyden’)
• root(method=’excitingmixing’)
• root(method=’krylov’)
• root(method=’df-sane’)

线性规划 / MILP

milp(c, *[, integrality, bounds, ...])	混合整数线性规划
linprog(c[, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds, ...])	线性规划：在满足线性等式和不等式约束的情况下，最小化线性目标函数。

linprog 函数支持以下方法

• linprog(method=’simplex’)
• linprog(method=’interior-point’)
• linprog(method=’revised simplex’)
• linprog(method=’highs-ipm’)
• linprog(method=’highs-ds’)
• linprog(method=’highs’)

单纯形法、内点法和修正单纯形法支持回调函数，例如

linprog_verbose_callback(res)

一个示例回调函数，演示了 linprog 回调接口。

分配问题

linear_sum_assignment	解决线性总和分配问题。
quadratic_assignment(A, B[, method, options])	近似求解二次分配问题和图匹配问题。

quadratic_assignment 函数支持以下方法

• quadratic_assignment(method=’faq’)
• quadratic_assignment(method=’2opt’)

实用程序

有限差分近似

approx_fprime(xk, f[, epsilon])	标量或向量值函数导数的有限差分近似。
check_grad(func, grad, x0, *args[, epsilon, ...])	通过将梯度函数与梯度的（前向）有限差分近似进行比较来检查梯度函数的正确性。

线性搜索

bracket(func[, xa, xb, args, grow_limit, ...])	将函数的最小值括起来。
line_search(f, myfprime, xk, pk[, gfk, ...])	找到满足强沃尔夫条件的 alpha。

Hessian 近似

LbfgsInvHessProduct(*args, **kwargs)	L-BFGS 近似逆 Hessian 的线性算子。
HessianUpdateStrategy()	用于实现 Hessian 更新策略的接口。

基准问题

rosen(x)	Rosenbrock 函数。
rosen_der(x)	Rosenbrock 函数的导数（即梯度）。
rosen_hess(x)	Rosenbrock 函数的 Hessian 矩阵。
rosen_hess_prod(x, p)	Rosenbrock 函数的 Hessian 矩阵与向量的乘积。

遗留函数

不推荐在新的脚本中使用以下函数；所有这些方法都可以通过更新的、更一致的接口访问，这些接口由上面的接口提供。

优化

通用多元方法

fmin(func, x0[, args, xtol, ftol, maxiter, ...])	使用下坡单纯形算法最小化函数。
fmin_powell(func, x0[, args, xtol, ftol, ...])	使用修正的 Powell 方法最小化函数。
fmin_cg(f, x0[, fprime, args, gtol, norm, ...])	使用非线性共轭梯度算法最小化函数。
fmin_bfgs(f, x0[, fprime, args, gtol, norm, ...])	使用 BFGS 算法最小化函数。
fmin_ncg(f, x0, fprime[, fhess_p, fhess, ...])	使用牛顿-CG 方法对函数进行无约束最小化。

约束多元方法

fmin_l_bfgs_b(func, x0[, fprime, args, ...])	使用 L-BFGS-B 算法最小化函数 func。
fmin_tnc(func, x0[, fprime, args, ...])	在截断牛顿算法中使用梯度信息，最小化具有约束的变量的函数。
fmin_cobyla(func, x0, cons[, args, ...])	使用通过线性近似 (COBYLA) 的约束优化方法最小化函数。
fmin_slsqp(func, x0[, eqcons, f_eqcons, ...])	使用顺序最小二乘规划最小化函数

单变量（标量）最小化方法

fminbound(func, x1, x2[, args, xtol, ...])	标量函数的有界最小化。
brent(func[, args, brack, tol, full_output, ...])	给定一个单变量函数和一个可能的括号，返回函数的局部极小值，精确到 tol 的分数精度。
golden(func[, args, brack, tol, ...])	使用黄金分割法返回一个单变量函数的最小值。

最小二乘

leastsq(func, x0[, args, Dfun, full_output, ...])

最小化一组方程的平方和。

求根

通用非线性求解器

fsolve(func, x0[, args, fprime, ...])	查找函数的根。
broyden1(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用 Broyden 的第一个雅可比近似值查找函数的根。
broyden2(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用 Broyden 的第二个雅可比近似值查找函数的根。
NoConvergence	当非线性求解器在指定的 maxiter 内无法收敛时引发的异常。

大规模非线性求解器

newton_krylov(F, xin[, iter, rdiff, method, ...])	使用 Krylov 近似值查找函数的根，用于逆雅可比矩阵。
anderson(F, xin[, iter, alpha, w0, M, ...])	使用 (扩展) Anderson 混合查找函数的根。
BroydenFirst([alpha, reduction_method, max_rank])	使用 Broyden 的第一个雅可比近似值查找函数的根。
InverseJacobian(jacobian)	属性:
KrylovJacobian([rdiff, method, ...])	使用 Krylov 近似值查找函数的根，用于逆雅可比矩阵。

简单迭代求解器

excitingmixing(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用调谐对角雅可比近似值查找函数的根。
linearmixing(F, xin[, iter, alpha, verbose, ...])	使用标量雅可比近似值查找函数的根。
diagbroyden(F, xin[, iter, alpha, verbose, ...])	使用对角 Broyden 雅可比近似值查找函数的根。